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本文嘗試不依靠高等數學的結論，僅利用初等數學知識輔以無窮小分析的思想來解釋循環與1的關系。希望大家可以提出問題意見并予以批評指正。

先闡述"循環"的性質:(1)是一種稱為“無限循環小數”的表示數的符號，是指小數點后有無數個9(用牛頓的話講就是“要多少個9就有多少個9”);(2)是一個數，和任何其他實數一樣，是確定的數，不是一個極限運算。為方便敘述，同時強調循環的符號性和常數性，設A=循環。下面分三步證明：一、首先構造數列a(n)=...(小數點后n個9)，顯然有:"任取正整數N,有a(N)＜A"(因為前者小數點后只有有限個9，后者是無限個9;也可以根據小數比大小規則，比較小數點后第N+1位0＜9同樣得出該結論)從而有:"不等式丨A-1丨＜丨a(N)–1丨對于一切確定的正整數N都成立"二、下面將證明:"任取ε＞0(ε是一個變量，是用來衡量無窮小的指標，可以取任何正數)，均有丨A-1丨＜ε"，分5小步證明：①對任意確定的正數ε，必存在正數S，使得εS＞1.(可以知道S是一個由ε決定的正數，取定一個ε，就可以找到至少一個與之對應的S，這是實數的阿基米德性得出的)②我們知道y=10^x這個函數的值域為(0,+∞)，顯然①中的S在該值域中，不妨設10^p=S,于是取正整數N=[p]+1，([]是取整函數，表示取p的整數部分)，又由y=10^x的單調性得出10^N≥10^p=S.③由①②并結合不等式的運算性質，有ε＞1/S=1/(10^p)＞1/(10^N)④按照之前數列a(n)的定義，a(N)=(小數點后有N個9)，于是丨a(N)–1丨=...01(小數點后有(N-1)個0然后是一個1)=1/(10^N)⑤我們已經在第一步證明了“不等式丨A-1丨＜丨a(N)–1丨對于一切確定的正整數N都成立”，那么由③④得出連不等式丨A-1丨＜丨a(N)–1丨=1/(10^N)＜ε三、丨A-1丨是兩個確定的數的差的絕對值，一定是一個定值。又因為絕對值有非負性，即丨A-1丨≥0假設丨A-1丨＞0，可以設丨A-1丨=δ＞0于是可以取ε=δ/2＞0(之前有說明ε可以取任意正數，所以當然可以取δ/2)，那么有丨A-1丨=δ＞δ/2=ε，這與之前證明的丨A-1丨＜ε矛盾，于是假設不成立，只能是丨A-1丨=0，解得A=1.